와구리 카오루코의 오일러 등식 수업

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

카오루코의 오일러 등식 수업

아무것도 몰라도 괜찮아요. 제가 천천히 알려줄게요!

Prologue

수업을 시작하기 전에

카오루코

안녕하세요! 와구리 카오루코예요. 오늘은 제가 정말 좋아하는 수식 하나를 같이 볼 거예요. 처음 봤을 때 너무 신기해서… 이걸 누군가에게 알려주고 싶다는 마음이 계속 들었거든요. 어려운 이야기는 아니에요. 천천히 가면 되니까, 편하게 따라와 주세요!

 

Chapter 1

들어가기 전에, 이것만 알고 가요!

카오루코

자, 오늘은 \(e^{i\pi} + 1 = 0\), 오일러 등식을 같이 공부해볼 거예요! 어렵게 생각하지 않아도 돼요. 제가 하나씩 알려줄게요~

이걸 이해하려면 수학의 전부를 알 필요는 없어요. 하지만 이것만큼은 알고 가야 해요.

일단, 미분을 알아야 해요. 근데 걱정 마세요! 미분 식을 직접 계산할 필요는 없으니까요.

미분은 쉽게 말하면 양파 까는 거랑 같아요. 양파도 하나씩 까다 보면 흔적도 안 남잖아요? 미분도 까고 까고 까다 보면 결국 상수가 되고, 그다음엔 0이 돼요. 케이크를 한 조각씩 나누다 보면 결국 접시만 남는 것처럼요.

\(x^n\) 이라는 값이 있을 때, 미분을 한 번 하면 n이 1만큼 차감되고 x에 n을 곱하게 돼요.

\(x^4\)을 계속 미분해보면:

→ 한 번: \(4x^3\)

→ 두 번: \(12x^2\)

→ 세 번: \(24x\)

→ 네 번: \(24\)

→ 다섯 번: \(0\)

여기서 x가 사라졌어요. 왜냐면 \(x\)는 \(x^1\)이고, 거기서 1을 빼면 \(x^0\)이에요. 수학에서 어떤 수든 0승은 1이에요. 그래서 \(24 \times 1 = 24\)가 된 거예요. 그리고 상수를 미분하면 0이 돼요.

다음으로, 자연상수 \(e\)라는 게 있어요. 이 친구의 기원을 따질 필요는 없고, 이것만 알면 돼요.

보통 \(x^4\)처럼 미분을 반복하면 형태가 변하고, 결국 0으로 사라져 버려요. 하지만 \(e^x\)는 달라요. 10번, 100번, 심지어 1억 번을 미분해도 형태가 유지돼요.

\(x^4\)를 미분하면 \(4x^3\)이 되잖아요? 형태가 바뀌죠. 그런데 \(e^x\)를 미분하면 그대로 \(e^x\)예요. 형태가 안 변해요. 불사조같은 친구죠.

마지막으로, \(\pi\)는 180도와 같다는 걸 알아야 해요.

중학교 때 원의 둘레를 \(2\pi r\)이라고 배웠죠? 다르게 말하면 360도예요.

고등학교에서는 라디안이라는 새로운 각도 단위를 쓰기 시작해요. 원의 둘레를 빨간 실로 둥글게 만들고, 파란 실로 반지름을 뒀다고 치면요. 이때 빨간 실과 파란 실의 길이가 정확히 맞아떨어지는 구간이 있어요. 그게 약 57.3도이고, 이걸 1라디안이라고 부르기로 약속한 거예요.

우리가 1m = 100cm라고 약속한 것처럼, 옛날 수학자들도 이 새로운 단위를 약속한 거죠.

그래서 이 단위로 원 한 바퀴를 세면 \(2\pi\) 라디안이 들어가니까 \(2\pi = 360°\), 그러면 \(\pi = 180°\)가 돼요.

카오루코

이 정도만 알면 오일러 등식의 첫걸음을 내딛을 수 있어요. 혹시 어려웠으면… 괜찮아요, 앞으로 천천히 같이 가면 되니까요. 자, 다음으로 넘어가볼까요?

 

Chapter 2

테일러 급수 — 수학자들이 고민 끝에 만든 도구

갑자기 이게 왜 나와? 할 수 있어요. 그럴 수 있죠. 근데 기다려 봐요. 이걸 알고 가야 나중에 내용을 이해할 수 있거든요. 조금만 저를 믿어줄래요?

$$f(\theta) = f(0) + f'(0)\cdot\frac{\theta}{1!} + f''(0)\cdot\frac{\theta^2}{2!} + f'''(0)\cdot\frac{\theta^3}{3!} + \cdots$$

솔직히 이것만 보면 이게 뭐고 왜 이런 걸 만들었지? 싶을 거예요.

하지만 의외로 현실적인 이유였어요. 건축을 하든, 지형을 측정하든, 이런 거 하려면 정확한 계산이 중요하잖아요? 잘못하면 다리가 무너지거나 건물이 기울어질 수도 있으니까요.

그런데 이론만큼 깔끔하게 계산이 됐을까요? 아니었겠죠.

그래서 옛날 수학자들은 고민을 한 거예요. 이런 복잡한 걸 도대체 어떻게 쉽게 정리하지? 어떻게 하면 내가 원하는 값만 찾을 수 있을까?

이때 수학자 분들이 다다른 결론이 이거예요. 내가 원하는 항이 있다면, 그 항이 문자 없는 상수가 될 때까지 미분해서 다 정리하고, 그 뒤에 있는 수들은 전부 0으로 만들면 되는 거 아닐까?

그러면 뒤에 문자가 남아있는 부분은 0이 곱해져서 전부 없어지고, 내가 원하는 값, 즉 상수가 된 항만 남으니까요.

어떻게 생각한 건가 싶죠? 저도 신기해요. 그만큼 열심히 고민한 결과겠죠?

어쨌든 저 식만 보면 이해가 안 되니까 직접 보여줄게요.

원래 형태:

\(f(\theta) = a_0 + a_1\theta + a_2\theta^2 + a_3\theta^3 + a_4\theta^4 + \cdots\)

미분을 반복하면:

1번: \(f'(\theta) = a_1 + 2a_2\theta + 3a_3\theta^2 + 4a_4\theta^3 + \cdots\)

2번: \(f''(\theta) = 2a_2 + 6a_3\theta + 12a_4\theta^2 + \cdots\)

3번: \(f'''(\theta) = 6a_3 + 24a_4\theta + \cdots\)

결국 내가 원하는 수가 상수가 될 때까지 미분하면 되잖아요.

예를 들어 저는 \(a_2\)만 알고 싶다고 치면요. 그러면 두 번만 미분하면 끝이에요. 더 할 필요도 없어요. 그리고 나머지 항들은? \(\theta\)에 0을 넣으면 다 사라져요. \(a_2\)만 남는 거예요.

그런데 앞에 숫자가 달려 있잖아요. 2가 붙어있죠? 이제 그걸 깔끔하게 정리해줘야 해요. 그래야 순수한 \(a_2\)를 알 수 있으니까요.

그걸 미분한 함수 \(f''(0)\)한테 넘겨버려요. 그러면 \(a_2 = f''(0) \div 2\), 이런 식으로 알 수 있어요.

카오루코

이게 바로 테일러 급수예요. 수많은 수학자들이 고민하고 고민해서 만들어낸 결과예요. 정말 대단하지 않아요?

 

Chapter 3

불사조 \(e\)를 테일러 급수에 넣으면?

여기서 더 나아가서, 수학자들이 아까 그 불사조 \(e\)를 테일러 급수에 넣어본 거예요.

\(e^x\)는 몇 번을 미분해도 형태가 똑같다고 했죠? 그래서 \(\theta\)에 0을 넣으면 \(e^0 = 1\)이 되는데, 이게 몇 번을 미분하든 매번 1이에요.

테일러 급수에서 \(f(\theta)\)를 \(e^\theta\)로 바꾸면, \(f(0)\)도 \(e^0\)이 돼요.

\(f(0) = e^0 = 1\)

\(f'(0) = e^0 = 1\)

\(f''(0) = e^0 = 1\)

\(f'''(0) = e^0 = 1\)

\(\vdots\) (영원히 1)

다른 함수들은 미분하다 보면 형태가 변하고 결국 사라지잖아요. 그런데 이 친구는 불사조니까요. 몇 번을 쪼개고 쪼개도 1이라는 산물을 내놓으면서 원형을 유지해요.

그래서 전부 1로 바뀌면:

$$e^\theta = 1 + \theta + \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots$$

수학자들은 이걸 이렇게도 정리했어요.

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

\(\sum\) 이 기호 보이죠? 시그마라고 해요. 어려우면 지금은 넘어가도 괜찮아요. 아래 숫자가 시작이고 위에 있는 숫자가 종착지예요. 즉 \(n\)이라는 숫자를 0부터 무한까지 바꿔가며 뒤의 식을 끝없이 더하겠다는 뜻이에요.

카오루코

정말 혁신적이지 않아요? 그 어떤 복잡한 수도 체계적으로 정리할 수 있게 된 거니까요. 당연히 세계적으로 영향을 줬겠죠? 오늘의 주인공인 오일러도 그중 한 명이었어요! …아, 제가 혼자 신나서 너무 앞서갔나요?

 

Chapter 4

오일러의 놀라운 시도 — 허수를 넣다

오일러도 어떻게 이런 생각을 했는지 놀라울 따름인데요, 당시 막 떠오르던 미지의 수 허수라는 거에 주목했어요.

세상에 존재하진 않아요. 그렇지만 존재하는 수. 그게 허수예요.

무슨 말인지 헷갈리죠? 지금도 완전히 설명하기 어려운 개념이에요. 그냥 상상의 수로 두는 거예요.

어쨌든 이 허수 \(i\)에는 다음과 같은 규칙이 있어요:

\(i^1 = i\)

\(i^2 = -1\)

\(i^3 = -i\)

\(i^4 = 1\)

\(i\)의 제곱은 \(-1\)이고, 네제곱은 \(-1 \times -1 = 1\)이 돼요. 그리고 이 4개가 빙글빙글 반복돼요.

역시 수학은 평범한 발상에서 나오는 게 아닌 것 같아요. 정말 대단한 분들이에요.

어쨌든 오일러는 정말 용감했던 거죠! 자 그래서 \(e^x\)의 테일러 급수에 \(i\theta\)를 넣어봤어요!

넣어봤더니?

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \cdots$$

아까 \(i\)의 규칙이 4개 주기로 돌아간다고 했죠? 그 회전이 적용되면서 양수, 음수, 허수가 번갈아 나타나는 거예요.

카오루코

그런데 여기까지만 보면 "\(e^{i\pi}\)가 왜 \(+1\) 하면 0이 되는데??" 라고 할 수 있어요. 조금만 기다려 봐요. 거의 다 왔어요!

 

Chapter 5

두 번째 놀라운 시도 — cos과 sin을 테일러 급수에 넣다

오일러는 여기서 하나 더 해봤어요. \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)를 각각 따로 테일러 급수에 넣어본 거예요.

어떻게 이런 생각을 해낸 건지 정말 놀라워요. 그런데 그만큼 끈기 있게 파고들었으니까 알아낸 거겠죠?

\(\cos\theta\)를 미분하면 \(-\sin\theta\)가 돼요. 다시 하면 \(-\cos\theta\), 또 하면 \(\sin\theta\), 그리고 \(\cos\theta\)로 돌아와요. 4개가 빙글빙글 도는 거예요. 아까 \(i\)의 주기랑 똑같죠?

그런데 여기서 핵심은, \(\cos\theta\)를 반복 미분하면 \(\sin\)이 나오는 차수가 있는데, \(\sin(0) = 0\)이라 그 항이 통째로 사라져요. 그래서 짝수 차수만 살아남아요.

\(\sin\theta\)도 같은 방식으로 하면, 이번엔 반대로 홀수 차수만 살아남아요.

cos θ — 짝수만 생존

$$\cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots$$

sin θ — 홀수만 생존

$$\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$

여기서 오일러가 깨달은 거예요.

Chapter 4에서 \(e^{i\theta}\)를 전개한 결과를 다시 봐요. 그 식의 실수 부분이 \(\cos\theta\)의 급수랑 완벽히 똑같고, 허수 부분이 \(\sin\theta\)의 급수랑 완벽히 똑같아요.

즉, \(\cos\theta + i\sin\theta\)를 더한 값이 \(e^{i\theta}\)랑 같은 거예요.

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

카오루코

왜 같냐고요? 저도 처음엔 정말 신기했어요. 그런데 결과가 그래요. 수학이 가끔 이렇게 마음을 두근거리게 할 때가 있어요. 자, 이제 마지막이에요. 조금만 더 힘내요…!

 

Chapter 6

\(\theta\)에 \(\pi\)를 넣으면 — 마법이 일어난다

여기서 \(\theta\)에 \(\pi\)를 넣어봤어요. \(\cos\pi\)는 \(\cos 180°\)이고, \(\sin\pi\)는 \(\sin 180°\)예요.

cos (0°부터 90°씩)

\(1 \to 0 \to -1 \to 0 \to 1\)
그래서 \(\cos 180° = -1\)

sin (0°부터 90°씩)

\(0 \to 1 \to 0 \to -1 \to 0\)
그래서 \(\sin 180° = 0\)

대입하면:

$$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + i \times 0 = -1$$

\(\sin\pi = 0\)이니까 \(i\)에 0이 곱해져서 허수가 통째로 사라져요. 남는 건 \(-1\)뿐이에요.

따라서:

$$e^{i\pi} + 1 = -1 + 1 = 0$$

자연상수 \(e\), 허수 \(i\), 원주율 \(\pi\), 덧셈의 항등원 \(1\), 그리고 무(無)의 \(0\)
수학에서 가장 근본적인 다섯 상수가 하나의 식에 담기다.

 

Epilogue

카오루코의 마지막 인사

카오루코

여기까지 따라와줘서 정말 고마워요! 어떤가요, 생각보다 어렵지 않았죠? 이 작은 식 안에 수학의 정수가 전부 들어있다니… 저는 이걸 알았을 때 정말 가슴이 뛰었어요. 이 마음을 같이 나눌 수 있어서, 오늘 저도 정말 즐거웠어요.

이 작은 식 안에, 세상에 담을 수 있는 수학의 정수가 전부 들어있어요.

— 와구리 카오루코의 오일러 등식 수업 끝 —

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캐릭터 원작: 「薫る花は凛と咲く」 © 三香見サカ / 講談社
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